mirror of
https://github.com/pepaskopec-blip/Graduately.git
synced 2026-10-27 15:14:35 +00:00
c3bc32113b
- content/ + scripts/build-content.py produce content.json for every app - stable lesson IDs with one-time progress migration (Swift, Kotlin) - shared answer-check tests (tests/answers.json) for Kotlin and Swift - android/desktop: Compose app with updater, speech and GTK progress import - CI packages AppImage and Windows zip with ProGuard, runs the tests Co-authored-by: Cursor <cursoragent@cursor.com>
59 lines
1.8 KiB
Markdown
59 lines
1.8 KiB
Markdown
---
|
||
id: matematika-3-sinova-a-kosinova-veta
|
||
puvodni: mat3.4
|
||
nazev: Sinová a kosinová věta
|
||
popis: Obecný trojúhelník, poloměr kružnice a obsah.
|
||
nazev_cviceni: Příklady
|
||
nadpis_kvizu: Sinová a kosinová věta
|
||
---
|
||
|
||
# Výklad
|
||
|
||
## a/sin α = 2R
|
||
*Sinová věta*
|
||
|
||
- a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R.
|
||
- R je poloměr kružnice opsané.
|
||
- Když a = 10 a α = 30°, je 10 / (1/2) = 20 = 2R.
|
||
- Poloměr R je 10.
|
||
|
||
> Tip: poměr strany a sinu protilehlého úhlu je pro všechny strany stejný.
|
||
|
||
## c² = a² + b² − 2ab cos γ
|
||
*Kosinová věta*
|
||
|
||
- Kosinová věta dopočítá stranu proti známému úhlu.
|
||
- Jsou-li dvě strany 2 a sevřený úhel 60°, je třetí strana také 2.
|
||
- a² = 4 + 4 − 2 · 2 · 2 · cos 60° = 8 − 8 · 1/2 = 4.
|
||
- Rovnostranný trojúhelník má všechny úhly 60°.
|
||
|
||
> Tip: pro pravý úhel je cos 90° = 0 a věta přejde v Pythagora.
|
||
|
||
## Dvě strany a sevřený úhel
|
||
*Obsah*
|
||
|
||
- Obsah je polovina součinu dvou stran a sinu sevřeného úhlu.
|
||
- (1/2) · 4 · 6 · sin 30° = 12 · 1/2 = 6.
|
||
- Sinová věta také dopočítá další stranu: b = a · sin β / sin α.
|
||
- Pro a = 8, α = 30° a β = 45° je b = 8√2.
|
||
|
||
> Tip: S = (1/2) · b · c · sin α.
|
||
|
||
|
||
# Příklady
|
||
|
||
## Strana a = 10 leží proti úhlu 30°. Jaký je poloměr kružnice opsané?
|
||
= num:10
|
||
> a/sin 30° = 20 = 2R, takže R = 10. Výsledek je 10.
|
||
|
||
## Dvě strany trojúhelníku mají délku 2 a svírají úhel 60°. Jak dlouhá je třetí strana?
|
||
= num:2
|
||
> a² = 4 + 4 − 8 · 1/2 = 4, takže a = 2. Výsledek je 2.
|
||
|
||
## Dvě strany mají délky 4 a 6 a svírají úhel 30°. Jaký je obsah trojúhelníku?
|
||
= num:6
|
||
> (1/2) · 4 · 6 · 1/2 = 6. Výsledek je 6.
|
||
|
||
## Strana a = 8 je proti 30° a úhel β je 45°. Jak dlouhá je strana b? Sin 45° je √2/2.
|
||
= num:8*sqrt(2)
|
||
> b = 8 · sin 45° / sin 30° = 8 · (√2/2) / (1/2) = 8√2.
|