---
id: matematika-3-sinova-a-kosinova-veta
puvodni: mat3.4
nazev: Sinová a kosinová věta
popis: Obecný trojúhelník, poloměr kružnice a obsah.
nazev_cviceni: Příklady
nadpis_kvizu: Sinová a kosinová věta
---

# Výklad

## a/sin α = 2R
*Sinová věta*

- a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R.
- R je poloměr kružnice opsané.
- Když a = 10 a α = 30°, je 10 / (1/2) = 20 = 2R.
- Poloměr R je 10.

> Tip: poměr strany a sinu protilehlého úhlu je pro všechny strany stejný.

## c² = a² + b² − 2ab cos γ
*Kosinová věta*

- Kosinová věta dopočítá stranu proti známému úhlu.
- Jsou-li dvě strany 2 a sevřený úhel 60°, je třetí strana také 2.
- a² = 4 + 4 − 2 · 2 · 2 · cos 60° = 8 − 8 · 1/2 = 4.
- Rovnostranný trojúhelník má všechny úhly 60°.

> Tip: pro pravý úhel je cos 90° = 0 a věta přejde v Pythagora.

## Dvě strany a sevřený úhel
*Obsah*

- Obsah je polovina součinu dvou stran a sinu sevřeného úhlu.
- (1/2) · 4 · 6 · sin 30° = 12 · 1/2 = 6.
- Sinová věta také dopočítá další stranu: b = a · sin β / sin α.
- Pro a = 8, α = 30° a β = 45° je b = 8√2.

> Tip: S = (1/2) · b · c · sin α.


# Příklady

## Strana a = 10 leží proti úhlu 30°. Jaký je poloměr kružnice opsané?
= num:10
> a/sin 30° = 20 = 2R, takže R = 10. Výsledek je 10.

## Dvě strany trojúhelníku mají délku 2 a svírají úhel 60°. Jak dlouhá je třetí strana?
= num:2
> a² = 4 + 4 − 8 · 1/2 = 4, takže a = 2. Výsledek je 2.

## Dvě strany mají délky 4 a 6 a svírají úhel 30°. Jaký je obsah trojúhelníku?
= num:6
> (1/2) · 4 · 6 · 1/2 = 6. Výsledek je 6.

## Strana a = 8 je proti 30° a úhel β je 45°. Jak dlouhá je strana b? Sin 45° je √2/2.
= num:8*sqrt(2)
> b = 8 · sin 45° / sin 30° = 8 · (√2/2) / (1/2) = 8√2.