---
id: matematika-4-komplexni-cisla
puvodni: mat4.4
nazev: Komplexní čísla
popis: Součet, součin, absolutní hodnota a mocnina i.
nazev_cviceni: Příklady
nadpis_kvizu: Komplexní čísla
---

# Výklad

## a + bi
*Tvar*

- Komplexní číslo a + bi má reálnou část a a imaginární část b.
- i je imaginární jednotka a i² = −1.
- Čísla se sčítají po složkách.
- (2 + 3i) + (1 − i) = 3 + 2i.

> Tip: i² = −1. Reálnou a imaginární část pište oddělené středníkem.

## Jako dvojčlen
*Násobení*

- (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi².
- bdi² = −bd, proto se imaginární jednotka ve výsledku nemusí objevit.
- (1 + i)(1 − i) = 1 − (i)² = 1 − (−1) = 2.
- Komplexní čísla lze násobit i v goniometrickém tvaru sčítáním argumentů.

> Tip: (1 + i)(1 − i) je rozdíl čtverců.

## Vzdálenost od nuly
*Absolutní hodnota*

- Absolutní hodnota je vzdálenost obrazu čísla od počátku Gaussovy roviny.
- |3 + 4i| = 5.
- |z| je vždy reálné nezáporné číslo.
- i² = −1, i³ = −i a i⁴ = 1.

> Tip: |a + bi| = √(a² + b²).


# Příklady

## Sečtěte 2 + 3i a 1 − i. Napište reálnou a imaginární část středníkem.
= pair:3;2
> (2 + 1) + (3 − 1)i = 3 + 2i. Napište 3;2.

## Spočítejte (1 + i)(1 − i).
= num:2
> 1 − i² = 1 − (−1) = 2. Výsledek je 2.

## Jaká je absolutní hodnota čísla 3 + 4i?
= num:5
> √(9 + 16) = 5. Výsledek je 5.

## Kolik je i²?
= num:-1
> Imaginární jednotka splňuje i² = −1. Výsledek je -1.