---
id: matematika-3-posloupnosti-a-rady
puvodni: mat3.5
nazev: Posloupnosti a řady
popis: Aritmetická a geometrická posloupnost a nekonečná řada.
nazev_cviceni: Příklady
nadpis_kvizu: Posloupnosti a řady
---

# Výklad

## Stálý rozdíl
*Aritmetická*

- Aritmetická posloupnost přičítá stále stejný rozdíl d.
- Pro a₁ = 3 a d = 2 je a₅ = 3 + 4 · 2 = 11.
- Součet prvních n členů je sₙ = n/2 · (2a₁ + (n − 1)d).
- s₅ = 5/2 · (6 + 8) = 35.

> Tip: aₙ = a₁ + (n − 1)d.

## Stálý kvocient
*Geometrická*

- Geometrická posloupnost násobí stále stejným kvocientem q.
- Pro a₁ = 2 a q = 3 je a₄ = 2 · 3³ = 54.
- q = 1 znamená, že se členy nemění.
- q = 0 je po prvním členu samá nula, pokud je první člen definován.

> Tip: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹.

## Součet pro |q| < 1
*Nekonečná řada*

- Nekonečná geometrická řada má součet jen pro |q| < 1.
- Pro a₁ = 6 a q = 1/2 je s = 6 / (1/2) = 12.
- Pro |q| ≥ 1 se součet členů neblíží ke konečnému číslu, kromě případu q = 1 a a₁ = 0.
- Řada 6 + 3 + 3/2 + … se tedy blíží ke 12.

> Tip: s = a₁ / (1 − q).


# Příklady

## Aritmetická posloupnost má a₁ = 3 a d = 2. Kolik je a₅?
= num:11
> a₅ = 3 + 4 · 2 = 11. Výsledek je 11.

## Aritmetická posloupnost má a₁ = 3 a d = 2. Kolik je součet prvních pěti členů?
= num:35
> s₅ = 5/2 · (6 + 8) = 35. Výsledek je 35.

## Geometrická posloupnost má a₁ = 2 a q = 3. Kolik je a₄?
= num:54
> a₄ = 2 · 27 = 54. Výsledek je 54.

## Nekonečná geometrická řada má a₁ = 6 a q = 1/2. Jaký je její součet?
= num:12
> s = 6 / (1/2) = 12. Výsledek je 12.