---
id: matematika-2-pythagorova-a-eukleidovy-vety
puvodni: mat2.7
nazev: Pythagorova a Eukleidovy věty
popis: Přepona, obsah čtverce nad ní a úseky přepony.
nazev_cviceni: Příklady
nadpis_kvizu: Pythagorova a Eukleidovy věty
---

# Výklad

## a² + b² = c²
*Pythagoras*

- V pravoúhlém trojúhelníku se součet čtverců nad odvěsnami rovná čtverci nad přeponou.
- Trojúhelník 8, 15, 17 je pravoúhlý a přepona je 17.
- Čtverec nad přeponou trojúhelníku 3, 4, 5 má obsah 25.
- Věta platí jen v pravoúhlém trojúhelníku.

> Tip: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17².

## Úsek přepony
*Eukleides*

- Odvěsna je geometrický průměr přepony a svého úseku.
- a² = c · a_c a b² = c · b_c.
- Úseky a_c a b_c dají dohromady přeponu c.
- U odvěsen 6 a 8 je přepona 10 a úsek u odvěsny 6 je 36/10 = 18/5.

> Tip: a² = c · a_c, kde a_c je úsek přepony přilehlý k odvěsně a.

## v² = a_c · b_c
*Výška*

- Výška k přeponě je geometrický průměr obou úseků.
- Z a · b = c · v plyne v = ab/c.
- Pro odvěsny 6 a 8 a přeponu 10 je v = 48/10 = 24/5.
- Obsah trojúhelníku je pak (c · v) / 2, stejně jako (a · b) / 2.

> Tip: také platí a · b = c · v.


# Příklady

## Pravoúhlý trojúhelník má odvěsny 8 a 15. Jak dlouhá je přepona?
= num:17
> 64 + 225 = 289 = 17². Výsledek je 17.

## Jaký obsah má čtverec sestrojený nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se stranami 3, 4 a 5?
= num:25
> Přepona je 5 a 5² = 25. Výsledek je 25.

## Odvěsny jsou 6 a 8, přepona je 10. Jak dlouhý je úsek přepony přilehlý k odvěsně 6?
= num:18/5
> a² = c · a_c, takže a_c = 36/10 = 18/5. Výsledek je 18/5.

## Odvěsny jsou 6 a 8, přepona je 10. Jak dlouhá je výška k přeponě?
= num:24/5
> v = ab/c = 48/10 = 24/5. Výsledek je 24/5.